Resol (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Resoleu x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Passos de solució

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Per trobar l'oposat de 9x^{2}-12x+4, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Combineu -9x^{2} i -40x^{2} per obtenir -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Afegiu 205 als dos costats.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Sumeu -4 més 205 per obtenir 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -5x per 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -35x+15x^{2} per 7+3x i combinar-los com termes.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combineu 16x i -245x per obtenir -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combineu 4x^{2} i -49x^{2} per obtenir -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Combineu -229x i 12x per obtenir -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Sumeu 16 més 201 per obtenir 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Torneu a ordenar l'equació per posar-la en forma estàndard. Situeu els termes en ordre, de la potència més gran a la més petita.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Per teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals d'un polinomi són de la forma \frac{p}{q}, on p divideix el 217 terme constant i q divideix el coeficient principal 45. Llista de tots els candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Per cercar una d'aquestes arrels, proveu tots els valors enters, començant pel més petit, per valor absolut. Si no es troba cap arrel d'enter, proveu les fraccions.

$$x=1$$

Per teorema de factors, x-k és un factor del polinomi per a cada k arrel. Dividiu 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 entre x-1 per obtenir 45x^{2}-217. Resoleu l'equació on el resultat és igual a 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 45 per a, 0 per b i -217 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Resoleu l'equació 45x^{2}-217=0 considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Llista de totes les solucions trobades.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$