Resol (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Resoleu k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -4 per 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Resteu 9 de 12 per obtenir -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Combineu -12k i 8k per obtenir -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 4 per a, -4 per b i -3 per c a la fórmula quadràtica.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Feu els càlculs.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Resoleu l'equació k=\frac{4±8}{8} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, k-\frac{3}{2} i k+\frac{1}{2} han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què k-\frac{3}{2} és positiu i k+\frac{1}{2} és negatiu.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Això és fals per a qualsevol k.

$$k\in \emptyset$$

Considereu el cas en què k+\frac{1}{2} és positiu i k-\frac{3}{2} és negatiu.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$