Resol (4/3+2x)^2>1/3-(2x+1)(2x+1/3)

$$( \frac { 4 } { 3 } + 2 x ) ^ { 2 } > \frac { 1 } { 3 } - ( 2 x + 1 ) ( 2 x + \frac { 1 } { 3 } )$$

Resoleu x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\cup \left(-\frac{1}{3},\infty\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\frac{4}{3}+2x\right)^{2}.

$$\frac{16}{9}+\frac{16}{3}x+4x^{2}>\frac{1}{3}-\left(2x+1\right)\left(2x+\frac{1}{3}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 2x+1 per 2x+\frac{1}{3} i combinar-los com termes.

$$\frac{16}{9}+\frac{16}{3}x+4x^{2}>\frac{1}{3}-\left(4x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{1}{3}\right)$$

Per trobar l'oposat de 4x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{1}{3}, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$\frac{16}{9}+\frac{16}{3}x+4x^{2}>\frac{1}{3}-4x^{2}-\frac{8}{3}x-\frac{1}{3}$$

Resteu \frac{1}{3} de \frac{1}{3} per obtenir 0.

$$\frac{16}{9}+\frac{16}{3}x+4x^{2}>-4x^{2}-\frac{8}{3}x$$

Afegiu 4x^{2} als dos costats.

$$\frac{16}{9}+\frac{16}{3}x+4x^{2}+4x^{2}>-\frac{8}{3}x$$

Combineu 4x^{2} i 4x^{2} per obtenir 8x^{2}.

$$\frac{16}{9}+\frac{16}{3}x+8x^{2}>-\frac{8}{3}x$$

Afegiu \frac{8}{3}x als dos costats.

$$\frac{16}{9}+\frac{16}{3}x+8x^{2}+\frac{8}{3}x>0$$

Combineu \frac{16}{3}x i \frac{8}{3}x per obtenir 8x.

$$\frac{16}{9}+8x+8x^{2}>0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{16}{9}+8x+8x^{2}=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 8 per a, 8 per b i \frac{16}{9} per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 8\times \frac{16}{9}}}{2\times 8}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{-8±\frac{8}{3}}{16}$$

Resoleu l'equació x=\frac{-8±\frac{8}{3}}{16} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$8\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)>0$$

Perquè el producte sigui positiu, tant x+\frac{1}{3} com x+\frac{2}{3} han de ser negatius o positius. Considereu el cas en què x+\frac{1}{3} i x+\frac{2}{3} són negatius.

$$x+\frac{1}{3}<0 x+\frac{2}{3}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x<-\frac{2}{3}.

$$x<-\frac{2}{3}$$

Considereu el cas en què x+\frac{1}{3} i x+\frac{2}{3} són positius.

$$x+\frac{2}{3}>0 x+\frac{1}{3}>0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x>-\frac{1}{3}.

$$x>-\frac{1}{3}$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x<-\frac{2}{3}\text{; }x>-\frac{1}{3}$$