Resol y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Resoleu y

$$y=6$$

$$y=9$$

Passos amb factorització

Afegiu 54 als dos costats.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Per resoldre l'equació, el factor y^{2}-15y+54 amb la fórmula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-15 ab=54$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 54 de producte.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

La solució és la parella que atorga -15 de suma.

$$a=-9 b=-6$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(y+a\right)\left(y+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu y-9=0 i y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Passos amb factorització per agrupació

Afegiu 54 als dos costats.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a y^{2}+ay+by+54. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 54 de producte.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

La solució és la parella que atorga -15 de suma.

$$a=-9 b=-6$$

Reescriviu y^{2}-15y+54 com a \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

y al primer grup i -6 al segon grup.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Simplifiqueu el terme comú y-9 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu y-9=0 i y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$y^{2}-15y=-54$$

Sumeu 54 als dos costats de l'equació.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

En restar -54 a si mateix s'obté 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Resteu -54 de 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 1 per a, -15 per b i 54 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Eleveu -15 al quadrat.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multipliqueu -4 per 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Sumeu 225 i -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

El contrari de -15 és 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Ara resoleu l'equació y=\frac{15±3}{2} quan ± és més. Sumeu 15 i 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Dividiu 18 per 2.

$$y=9$$

Ara resoleu l'equació y=\frac{15±3}{2} quan ± és menys. Resteu 3 de 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Dividiu 12 per 2.

$$y=6$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$y=9 y=6$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Dividiu -15, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{15}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{15}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{15}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Sumeu -54 i \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor y^{2}-15y+\frac{225}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Sumeu \frac{15}{2} als dos costats de l'equació.

$$y=9 y=6$$