Resol x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, -1 per b i -1 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Resoleu l'equació x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Perquè el producte sigui positiu, tant x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} com x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} han de ser negatius o positius. Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} són negatius.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} són positius.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$