Resol x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, -3 per b i 1 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Resoleu l'equació x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} i x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} és positiu i x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} és negatiu.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} és positiu i x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} és negatiu.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$