Resol left(6x-2right)^2-4*x*5x<0

$${ \left(6x-2 \right) }^{ 2 } -4 \times x \times 5x < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu x per x per obtenir x^{2}.

$$\left(6x-2\right)^{2}-4x^{2}\times 5<0$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(6x-2\right)^{2}.

$$36x^{2}-24x+4-4x^{2}\times 5<0$$

Multipliqueu 4 per 5 per obtenir 20.

$$36x^{2}-24x+4-20x^{2}<0$$

Combineu 36x^{2} i -20x^{2} per obtenir 16x^{2}.

$$16x^{2}-24x+4<0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}-24x+4=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 16 per a, -24 per b i 4 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{24±8\sqrt{5}}{32}$$

Resoleu l'equació x=\frac{24±8\sqrt{5}}{32} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$16\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} i x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} és positiu i x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} és negatiu.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x-\frac{3-\sqrt{5}}{4} és positiu i x-\frac{\sqrt{5}+3}{4} és negatiu.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{4}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{4}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right)$$