Resol {left(14-4y/3right)}^2-10(14-4y/3)+y^2-12y-39=0

$${ \left( \frac{ 14-4y }{ 3 } \right) }^{ 2 } -10( \frac{ 14-4y }{ 3 } )+ { y }^{ 2 } -12y-39=0$$

Resoleu y

$$y=3\sqrt{3}+2\approx 7,196152423$$

$$y=2-3\sqrt{3}\approx -3,196152423$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 3.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Per elevar \frac{14-4y}{3} a una potència, eleveu el numerador i el denominador a la potència en qüestió i dividiu-los.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Expresseu 10\times \frac{14-4y}{3} com a fracció senzilla.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 10 per 14-4y.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. El mínim comú múltiple de 3^{2} i 3 és 9. Multipliqueu \frac{140-40y}{3} per \frac{3}{3}.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Com que \frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} i \frac{3\left(140-40y\right)}{9} tenen el mateix denominador, resteu-los mitjançant la subtracció dels seus numeradors.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Feu les multiplicacions a \left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right).

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Combineu els termes similars de 196-112y+16y^{2}-420+120y.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Cancel·leu el factor comú més gran 9 a 3 i 9.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

Dividiu cada terme de -224+8y+16y^{2} entre 3 per obtenir -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

Combineu \frac{16}{3}y^{2} i 3y^{2} per obtenir \frac{25}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

Combineu \frac{8}{3}y i -36y per obtenir -\frac{100}{3}y.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

Resteu -\frac{224}{3} de 117 per obtenir -\frac{575}{3}.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y-\frac{575}{3}=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu \frac{25}{3} per a, -\frac{100}{3} per b i -\frac{575}{3} per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{100}{3}\right)^{2}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Per elevar -\frac{100}{3} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Multipliqueu -4 per \frac{25}{3}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-\frac{100}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Per multiplicar -\frac{100}{3} per -\frac{575}{3}, multipliqueu el numerador pel numerador i el denominador pel denominador. A continuació, reduïu la fracció als termes més baixos sempre que sigui possible.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000+57500}{9}}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Sumeu \frac{10000}{9} i \frac{57500}{9} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{7500}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 7500.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

El contrari de -\frac{100}{3} és \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Multipliqueu 2 per \frac{25}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Ara resoleu l'equació y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}} quan ± és més. Sumeu \frac{100}{3} i 50\sqrt{3}.

$$y=\frac{50\sqrt{3}+\frac{100}{3}}{\frac{50}{3}}$$

Dividiu \frac{100}{3}+50\sqrt{3} per \frac{50}{3} multiplicant \frac{100}{3}+50\sqrt{3} pel recíproc de \frac{50}{3}.

$$y=3\sqrt{3}+2$$

Ara resoleu l'equació y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}} quan ± és menys. Resteu 50\sqrt{3} de \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}-50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Dividiu \frac{100}{3}-50\sqrt{3} per \frac{50}{3} multiplicant \frac{100}{3}-50\sqrt{3} pel recíproc de \frac{50}{3}.

$$y=2-3\sqrt{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 3.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Per elevar \frac{14-4y}{3} a una potència, eleveu el numerador i el denominador a la potència en qüestió i dividiu-los.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Expresseu 10\times \frac{14-4y}{3} com a fracció senzilla.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 10 per 14-4y.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. El mínim comú múltiple de 3^{2} i 3 és 9. Multipliqueu \frac{140-40y}{3} per \frac{3}{3}.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Com que \frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} i \frac{3\left(140-40y\right)}{9} tenen el mateix denominador, resteu-los mitjançant la subtracció dels seus numeradors.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Feu les multiplicacions a \left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right).

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Combineu els termes similars de 196-112y+16y^{2}-420+120y.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Cancel·leu el factor comú més gran 9 a 3 i 9.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

Dividiu cada terme de -224+8y+16y^{2} entre 3 per obtenir -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

Combineu \frac{16}{3}y^{2} i 3y^{2} per obtenir \frac{25}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

Combineu \frac{8}{3}y i -36y per obtenir -\frac{100}{3}y.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

Resteu -\frac{224}{3} de 117 per obtenir -\frac{575}{3}.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Afegiu \frac{575}{3} als dos costats. Qualsevol valor més zero dóna com a resultat el mateix valor.

$$-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=\frac{575}{3}$$

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y=\frac{575}{3}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{25}{3}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$\frac{\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y}{\frac{25}{3}}=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

En dividir per \frac{25}{3} es desfà la multiplicació per \frac{25}{3}.

$$y^{2}+\left(-\frac{\frac{100}{3}}{\frac{25}{3}}\right)y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Dividiu -\frac{100}{3} per \frac{25}{3} multiplicant -\frac{100}{3} pel recíproc de \frac{25}{3}.

$$y^{2}-4y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Dividiu \frac{575}{3} per \frac{25}{3} multiplicant \frac{575}{3} pel recíproc de \frac{25}{3}.

$$y^{2}-4y=23$$

Dividiu -4, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -2. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -2 als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$y^{2}-4y+\left(-2\right)^{2}=23+\left(-2\right)^{2}$$

Eleveu -2 al quadrat.

$$y^{2}-4y+4=23+4$$

Sumeu 23 i 4.

$$y^{2}-4y+4=27$$

Factor y^{2}-4y+4. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-2\right)^{2}=27$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{27}$$

Simplifiqueu.

$$y-2=3\sqrt{3} y-2=-3\sqrt{3}$$

Sumeu 2 als dos costats de l'equació.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$