Resol {left(frac{1-sqrt{3}}{1+sqrt{3}}right)}^2+{left(frac{1+sqrt{3}}{1-sqrt{3}}right)}^2

$${ \left( \frac{ 1- \sqrt{ 3 } }{ 1+ \sqrt{ 3 } } \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 1+ \sqrt{ 3 } }{ 1- \sqrt{ 3 } } \right) }^{ 2 }$$

Calcula

$$14$$

Passos de solució

Racionalitzeu el denominador de \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per 1-\sqrt{3}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Considereu \left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Eleveu 1 al quadrat. Eleveu \sqrt{3} al quadrat.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{1-3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Resteu 1 de 3 per obtenir -2.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Multipliqueu 1-\sqrt{3} per 1-\sqrt{3} per obtenir \left(1-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(1-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(\frac{1-2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$\left(\frac{1-2\sqrt{3}+3}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Sumeu 1 més 3 per obtenir 4.

$$\left(\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Dividiu cada terme de 4-2\sqrt{3} entre -2 per obtenir -2+\sqrt{3}.

$$\left(-2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(-2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4-4\sqrt{3}+3+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Sumeu 4 més 3 per obtenir 7.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Racionalitzeu el denominador de \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per 1+\sqrt{3}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}\right)^{2}$$

Considereu \left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)^{2}$$

Eleveu 1 al quadrat. Eleveu \sqrt{3} al quadrat.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{1-3}\right)^{2}$$

Resteu 1 de 3 per obtenir -2.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{-2}\right)^{2}$$

Multipliqueu 1+\sqrt{3} per 1+\sqrt{3} per obtenir \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+2\sqrt{3}+3}{-2}\right)^{2}$$

Sumeu 1 més 3 per obtenir 4.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}\right)^{2}$$

Dividiu cada terme de 4+2\sqrt{3} entre -2 per obtenir -2-\sqrt{3}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(-2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(-2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$7-4\sqrt{3}+4+4\sqrt{3}+3$$

Sumeu 4 més 3 per obtenir 7.

$$7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}$$

Sumeu 7 més 7 per obtenir 14.

$$14-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Combineu -4\sqrt{3} i 4\sqrt{3} per obtenir 0.

$$14$$

Factoritzar

$$2\times 7$$