Resol {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Calcula

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Passos de solució

Racionalitzeu el denominador de \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} multiplicant el numerador i el denominador per \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Considereu \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Eleveu \sqrt{3} al quadrat. Eleveu 1 al quadrat.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Resteu 3 de 1 per obtenir 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multipliqueu \sqrt{3}+1 per \sqrt{3}+1 per obtenir \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Sumeu 3 més 1 per obtenir 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Dividiu cada terme de 4+2\sqrt{3} entre 2 per obtenir 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Sumeu 4 més 3 per obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Expandiu

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Passos de solució

Racionalitzeu el denominador de \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} multiplicant el numerador i el denominador per \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Considereu \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Eleveu \sqrt{3} al quadrat. Eleveu 1 al quadrat.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Resteu 3 de 1 per obtenir 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multipliqueu \sqrt{3}+1 per \sqrt{3}+1 per obtenir \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Sumeu 3 més 1 per obtenir 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Dividiu cada terme de 4+2\sqrt{3} entre 2 per obtenir 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Sumeu 4 més 3 per obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}$$