Resol sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Resoleu x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x} elevat a 2 per obtenir x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Afegiu 2x als dos costats.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Combineu x i 2x per obtenir 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Resteu 1 en tots dos costats.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu -1 per a, 3 per b i -1 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleveu 3 al quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu -4 per -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu 4 per -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Sumeu 9 i -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu 2 per -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} quan ± és més. Sumeu -3 i \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Dividiu -3+\sqrt{5} per -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} quan ± és menys. Resteu \sqrt{5} de -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Dividiu -3-\sqrt{5} per -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Substituïu \frac{3-\sqrt{5}}{2} per x a l'equació \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Simplifiqueu. El valor x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} no satisfà l'equació perquè l'esquerra i el costat dret tenen signes oposats.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Substituïu \frac{\sqrt{5}+3}{2} per x a l'equació \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Simplifiqueu. El valor x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} satisfà l'equació.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

L'equació \sqrt{x}=x-1 té una única solució.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$