Resol sqrt{5-2x}-sqrt{x+6}=sqrt{x+3}

$$\sqrt{ 5-2x } - \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+3 }$$

Resoleu x

$$x=-2$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{5-2x} elevat a 2 per obtenir 5-2x.

$$5-2x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+6} elevat a 2 per obtenir x+6.

$$5-2x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Combineu -2x i x per obtenir -x.

$$5-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Sumeu 5 més 6 per obtenir 11.

$$11-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+3} elevat a 2 per obtenir x+3.

$$11-x-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3$$

Resteu 11-x als dos costats de l'equació.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3-\left(11-x\right)$$

Per trobar l'oposat de 11-x, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x+3-11+x$$

Resteu 3 de 11 per obtenir -8.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=x-8+x$$

Combineu x i x per obtenir 2x.

$$-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}=2x-8$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Expandiu \left(-2\sqrt{5-2x}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Calculeu -2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{5-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{5-2x} elevat a 2 per obtenir 5-2x.

$$4\left(5-2x\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+6} elevat a 2 per obtenir x+6.

$$4\left(5-2x\right)\left(x+6\right)=\left(2x-8\right)^{2}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per 5-2x.

$$\left(20-8x\right)\left(x+6\right)=\left(2x-8\right)^{2}$$

Per aplicar la propietat distributiva, cal multiplicar cada terme de l'operació 20-8x per cada terme de l'operació x+6.

$$20x+120-8x^{2}-48x=\left(2x-8\right)^{2}$$

Combineu 20x i -48x per obtenir -28x.

$$-28x+120-8x^{2}=\left(2x-8\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2x-8\right)^{2}.

$$-28x+120-8x^{2}=4x^{2}-32x+64$$

Resteu 4x^{2} en tots dos costats.

$$-28x+120-8x^{2}-4x^{2}=-32x+64$$

Combineu -8x^{2} i -4x^{2} per obtenir -12x^{2}.

$$-28x+120-12x^{2}=-32x+64$$

Afegiu 32x als dos costats.

$$-28x+120-12x^{2}+32x=64$$

Combineu -28x i 32x per obtenir 4x.

$$4x+120-12x^{2}=64$$

Resteu 64 en tots dos costats.

$$4x+120-12x^{2}-64=0$$

Resteu 120 de 64 per obtenir 56.

$$4x+56-12x^{2}=0$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x+14-3x^{2}=0$$

Torneu a ordenar el polinomi per posar-lo en forma estàndard. Poseu els termes en ordre, de la potència més gran a la més petita.

$$-3x^{2}+x+14=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a -3x^{2}+ax+bx+14. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=1 ab=-3\times 14=-42$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -42 de producte.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La solució és la parella que atorga 1 de suma.

$$a=7 b=-6$$

Reescriviu -3x^{2}+x+14 com a \left(-3x^{2}+7x\right)+\left(-6x+14\right).

$$\left(-3x^{2}+7x\right)+\left(-6x+14\right)$$

-x al primer grup i -2 al segon grup.

$$-x\left(3x-7\right)-2\left(3x-7\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 3x-7 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(3x-7\right)\left(-x-2\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 3x-7=0 i -x-2=0.

$$x=\frac{7}{3} x=-2$$

Substituïu \frac{7}{3} per x a l'equació \sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}=\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{5-2\times \frac{7}{3}}-\sqrt{\frac{7}{3}+6}=\sqrt{\frac{7}{3}+3}$$

Simplifiqueu. El valor x=\frac{7}{3} no satisfà l'equació perquè l'esquerra i el costat dret tenen signes oposats.

$$-\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Substituïu -2 per x a l'equació \sqrt{5-2x}-\sqrt{x+6}=\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{5-2\left(-2\right)}-\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+3}$$

Simplifiqueu. El valor x=-2 satisfà l'equació.

$$1=1$$

L'equació -\sqrt{x+6}+\sqrt{5-2x}=\sqrt{x+3} té una única solució.

$$x=-2$$