Resol sqrt{4y+1}-sqrt{y-2}=3

$$\sqrt{ 4y+1 } - \sqrt{ y-2 } =3$$

Resoleu y

$$y=6$$

$$y=2$$

Passos de solució

Resteu -\sqrt{y-2} als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{4y+1}=3+\sqrt{y-2}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{4y+1}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{4y+1} elevat a 2 per obtenir 4y+1.

$$4y+1=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{y-2} elevat a 2 per obtenir y-2.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+y-2$$

Resteu 9 de 2 per obtenir 7.

$$4y+1=7+6\sqrt{y-2}+y$$

Resteu 7+y als dos costats de l'equació.

$$4y+1-\left(7+y\right)=6\sqrt{y-2}$$

Per trobar l'oposat de 7+y, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$4y+1-7-y=6\sqrt{y-2}$$

Resteu 1 de 7 per obtenir -6.

$$4y-6-y=6\sqrt{y-2}$$

Combineu 4y i -y per obtenir 3y.

$$3y-6=6\sqrt{y-2}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(3y-6\right)^{2}=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(3y-6\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Expandiu \left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=6^{2}\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculeu 6 elevat a 2 per obtenir 36.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{y-2} elevat a 2 per obtenir y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(y-2\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 36 per y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36y-72$$

Resteu 36y en tots dos costats.

$$9y^{2}-36y+36-36y=-72$$

Combineu -36y i -36y per obtenir -72y.

$$9y^{2}-72y+36=-72$$

Afegiu 72 als dos costats.

$$9y^{2}-72y+36+72=0$$

Sumeu 36 més 72 per obtenir 108.

$$9y^{2}-72y+108=0$$

Dividiu els dos costats per 9.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a y^{2}+ay+by+12. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 12 de producte.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La solució és la parella que atorga -8 de suma.

$$a=-6 b=-2$$

Reescriviu y^{2}-8y+12 com a \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

y al primer grup i -2 al segon grup.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Simplifiqueu el terme comú y-6 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu y-6=0 i y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Substituïu 6 per y a l'equació \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 6+1}-\sqrt{6-2}=3$$

Simplifiqueu. El valor y=6 satisfà l'equació.

$$3=3$$

Substituïu 2 per y a l'equació \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{2-2}=3$$

Simplifiqueu. El valor y=2 satisfà l'equació.

$$3=3$$

Llista de totes les solucions de \sqrt{4y+1}=\sqrt{y-2}+3.

$$y=6 y=2$$