Resol sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Resoleu x

$$x=14$$

$$x=6$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x-3} elevat a 2 per obtenir 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x-5} elevat a 2 per obtenir x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Resteu 4 de 5 per obtenir -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Resteu -1+x als dos costats de l'equació.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Per trobar l'oposat de -1+x, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Sumeu -3 més 1 per obtenir -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Combineu 2x i -x per obtenir x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Expandiu \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculeu 4 elevat a 2 per obtenir 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x-5} elevat a 2 per obtenir x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 16 per x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Resteu 16x en tots dos costats.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Combineu -4x i -16x per obtenir -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Afegiu 80 als dos costats.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Sumeu 4 més 80 per obtenir 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Per resoldre l'equació, el factor x^{2}-20x+84 amb la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-20 ab=84$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 84 de producte.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

La solució és la parella que atorga -20 de suma.

$$a=-14 b=-6$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(x+a\right)\left(x+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-14=0 i x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Substituïu 14 per x a l'equació \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Simplifiqueu. El valor x=14 satisfà l'equació.

$$5=5$$

Substituïu 6 per x a l'equació \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Simplifiqueu. El valor x=6 satisfà l'equació.

$$3=3$$

Llista de totes les solucions de \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$