Resol sqrt{2x+3x^2}=2x^2

$$\sqrt{ 2x+3 { x }^{ 2 } } =2 { x }^{ 2 }$$

Resoleu x

$$x = \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 1,097911673$$

$$x=0$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{2x+3x^{2}}\right)^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x+3x^{2}} elevat a 2 per obtenir 2x+3x^{2}.

$$2x+3x^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

Expandiu \left(2x^{2}\right)^{2}.

$$2x+3x^{2}=2^{2}\left(x^{2}\right)^{2}$$

Per elevar una potència a una altra potència, multipliqueu-ne els exponents. Multipliqueu 2 i 2 per obtenir 4.

$$2x+3x^{2}=2^{2}x^{4}$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$2x+3x^{2}=4x^{4}$$

Resteu 4x^{4} en tots dos costats.

$$2x+3x^{2}-4x^{4}=0$$

Substitueix t per x^{2}.

$$-4t^{2}+3t+2=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu -4 per a, 3 per b i 2 per c a la fórmula quadràtica.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{-4\times 2}$$

Feu els càlculs.

$$t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

Resoleu l'equació t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$t=\frac{3-\sqrt{41}}{8} t=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Com que x=t^{2}, les solucions s'obtenen mitjançant l'avaluació de x=±\sqrt{t} per a t positiu.

$$x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}$$

Substituïu \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} per x a l'equació \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}+3\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

Simplifiqueu. El valor x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} no satisfà l'equació.

$$\frac{1}{2}\left(2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

Substituïu -\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} per x a l'equació \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}.

$$\sqrt{2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)+3\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

Simplifiqueu. El valor x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} no satisfà l'equació.

$$\frac{1}{2}\left(-2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

L'equació \sqrt{3x^{2}+2x}=2x^{2} no té solucions.

$$x\in \emptyset$$