Resol sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Resoleu x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

El mínim comú múltiple de 2 i 4 és 4. Convertiu \frac{1}{2} i \frac{1}{4} a fraccions amb denominador 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Com que \frac{2}{4} i \frac{1}{4} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sumeu 2 més 1 per obtenir 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

El mínim comú múltiple de 4 i 8 és 8. Convertiu \frac{3}{4} i \frac{1}{8} a fraccions amb denominador 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Com que \frac{6}{8} i \frac{1}{8} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sumeu 6 més 1 per obtenir 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

El mínim comú múltiple de 8 i 16 és 16. Convertiu \frac{7}{8} i \frac{1}{16} a fraccions amb denominador 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Com que \frac{14}{16} i \frac{1}{16} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Sumeu 14 més 1 per obtenir 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Calculeu \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} elevat a 2 per obtenir \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu -1 per a, \frac{1}{2} per b i \frac{15}{16} per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Per elevar \frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu -4 per -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu 4 per \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Sumeu \frac{1}{4} i \frac{15}{4} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu 2 per -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} quan ± és més. Sumeu -\frac{1}{2} i 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Dividiu \frac{3}{2} per -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} quan ± és menys. Resteu 2 de -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Dividiu -\frac{5}{2} per -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Substituïu -\frac{3}{4} per x a l'equació \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Simplifiqueu. El valor x=-\frac{3}{4} no satisfà l'equació perquè l'esquerra i el costat dret tenen signes oposats.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Substituïu \frac{5}{4} per x a l'equació \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Simplifiqueu. El valor x=\frac{5}{4} satisfà l'equació.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

L'equació \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x té una única solució.

$$x=\frac{5}{4}$$