Resol sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Resoleu x

$$x=3$$

Passos de solució

Resteu \sqrt{2x-2} als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x-3} elevat a 2 per obtenir x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x-2} elevat a 2 per obtenir 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Resteu 4 de 2 per obtenir 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Resteu 2+2x als dos costats de l'equació.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Per trobar l'oposat de 2+2x, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Resteu -3 de 2 per obtenir -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Combineu x i -2x per obtenir -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Expandiu \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculeu -4 elevat a 2 per obtenir 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x-2} elevat a 2 per obtenir 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 16 per 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Resteu 32x en tots dos costats.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Combineu 10x i -32x per obtenir -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Afegiu 32 als dos costats.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Sumeu 25 més 32 per obtenir 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Per resoldre l'equació, el factor x^{2}-22x+57 amb la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-22 ab=57$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 57 de producte.

$$-1,-57 -3,-19$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

La solució és la parella que atorga -22 de suma.

$$a=-19 b=-3$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(x+a\right)\left(x+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-19=0 i x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Substituïu 19 per x a l'equació \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Simplifiqueu. El valor x=19 no satisfà l'equació.

$$10=2$$

Substituïu 3 per x a l'equació \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Simplifiqueu. El valor x=3 satisfà l'equació.

$$2=2$$

L'equació \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 té una única solució.

$$x=3$$