Resol sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Resoleu x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x^{2}-1} elevat a 2 per obtenir x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x+1} elevat a 2 per obtenir 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Resteu 2x en tots dos costats.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Resteu 1 en tots dos costats.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Resteu -1 de 1 per obtenir -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 1 per a, -2 per b i -2 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Eleveu -2 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multipliqueu -4 per -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Sumeu 4 i 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

El contrari de -2 és 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quan ± és més. Sumeu 2 i 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Dividiu 2+2\sqrt{3} per 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quan ± és menys. Resteu 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Dividiu 2-2\sqrt{3} per 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Substituïu \sqrt{3}+1 per x a l'equació \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifiqueu. El valor x=\sqrt{3}+1 satisfà l'equació.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Substituïu 1-\sqrt{3} per x a l'equació \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Simplifiqueu. El valor x=1-\sqrt{3} satisfà l'equació.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Llista de totes les solucions de \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Resoleu x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x^{2}-1} elevat a 2 per obtenir x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x+1} elevat a 2 per obtenir 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Resteu 2x en tots dos costats.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Resteu 1 en tots dos costats.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Resteu -1 de 1 per obtenir -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 1 per a, -2 per b i -2 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Eleveu -2 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multipliqueu -4 per -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Sumeu 4 i 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

El contrari de -2 és 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quan ± és més. Sumeu 2 i 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Dividiu 2+2\sqrt{3} per 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quan ± és menys. Resteu 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Dividiu 2-2\sqrt{3} per 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Substituïu \sqrt{3}+1 per x a l'equació \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifiqueu. El valor x=\sqrt{3}+1 satisfà l'equació.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Substituïu 1-\sqrt{3} per x a l'equació \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. L'expressió \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} no està definida perquè la radicand no pot ser negativa.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

L'equació \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} té una única solució.

$$x=\sqrt{3}+1$$