Resol sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Resoleu x

$$x=9$$

Passos de solució

Resteu -\sqrt{13-x} als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+7} elevat a 2 per obtenir x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{13-x} elevat a 2 per obtenir 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Sumeu 4 més 13 per obtenir 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Resteu 17-x als dos costats de l'equació.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Per trobar l'oposat de 17-x, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Resteu 7 de 17 per obtenir -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Combineu x i x per obtenir 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Expandiu \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calculeu 4 elevat a 2 per obtenir 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{13-x} elevat a 2 per obtenir 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 16 per 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Resteu 208 en tots dos costats.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Resteu 100 de 208 per obtenir -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Afegiu 16x als dos costats.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Combineu -40x i 16x per obtenir -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a x^{2}+ax+bx-27. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -27 de producte.

$$1,-27 3,-9$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

La solució és la parella que atorga -6 de suma.

$$a=-9 b=3$$

Reescriviu x^{2}-6x-27 com a \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

x al primer grup i 3 al segon grup.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-9 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-9=0 i x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Substituïu 9 per x a l'equació \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Simplifiqueu. El valor x=9 satisfà l'equació.

$$2=2$$

Substituïu -3 per x a l'equació \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Simplifiqueu. El valor x=-3 no satisfà l'equació perquè l'esquerra i el costat dret tenen signes oposats.

$$-2=2$$

Substituïu 9 per x a l'equació \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Simplifiqueu. El valor x=9 satisfà l'equació.

$$2=2$$

L'equació \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 té una única solució.

$$x=9$$