Resol sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Resoleu x

$$x=-2$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+3} elevat a 2 per obtenir x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+6} elevat a 2 per obtenir x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Combineu x i x per obtenir 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Sumeu 3 més 6 per obtenir 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+11} elevat a 2 per obtenir x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Resteu 2x+9 als dos costats de l'equació.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Per trobar l'oposat de 2x+9, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Combineu x i -2x per obtenir -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Resteu 11 de 9 per obtenir 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Expandiu \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+3} elevat a 2 per obtenir x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+6} elevat a 2 per obtenir x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Per aplicar la propietat distributiva, cal multiplicar cada terme de l'operació 4x+12 per cada terme de l'operació x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Combineu 24x i 12x per obtenir 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Combineu 4x^{2} i -x^{2} per obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Afegiu 4x als dos costats.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Combineu 36x i 4x per obtenir 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Resteu 4 en tots dos costats.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Resteu 72 de 4 per obtenir 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 3x^{2}+ax+bx+68. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Atès que a+b és positiu, a i b són positius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 204 de producte.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

La solució és la parella que atorga 40 de suma.

$$a=6 b=34$$

Reescriviu 3x^{2}+40x+68 com a \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

3x al primer grup i 34 al segon grup.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x+2 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x+2=0 i 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Substituïu -\frac{34}{3} per x a l'equació \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. L'expressió \sqrt{-\frac{34}{3}+3} no està definida perquè la radicand no pot ser negativa.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Substituïu -2 per x a l'equació \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Simplifiqueu. El valor x=-2 satisfà l'equació.

$$3=3$$

L'equació \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} té una única solució.

$$x=-2$$