Resol sqrt{x+14}-sqrt{2x+5}=1

$$\sqrt { x + 14 } - \sqrt { 2 x + 5 } = 1$$

Resoleu x

$$x=2$$

Passos de solució

Resteu -\sqrt{2x+5} als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{x+14}=1+\sqrt{2x+5}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{x+14}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x+14} elevat a 2 per obtenir x+14.

$$x+14=\left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(1+\sqrt{2x+5}\right)^{2}.

$$x+14=1+2\sqrt{2x+5}+\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x+5} elevat a 2 per obtenir 2x+5.

$$x+14=1+2\sqrt{2x+5}+2x+5$$

Sumeu 1 més 5 per obtenir 6.

$$x+14=6+2\sqrt{2x+5}+2x$$

Resteu 6+2x als dos costats de l'equació.

$$x+14-\left(6+2x\right)=2\sqrt{2x+5}$$

Per trobar l'oposat de 6+2x, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$x+14-6-2x=2\sqrt{2x+5}$$

Resteu 14 de 6 per obtenir 8.

$$x+8-2x=2\sqrt{2x+5}$$

Combineu x i -2x per obtenir -x.

$$-x+8=2\sqrt{2x+5}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(-x+8\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(-x+8\right)^{2}.

$$x^{2}-16x+64=\left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Expandiu \left(2\sqrt{2x+5}\right)^{2}.

$$x^{2}-16x+64=2^{2}\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$x^{2}-16x+64=4\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x+5} elevat a 2 per obtenir 2x+5.

$$x^{2}-16x+64=4\left(2x+5\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per 2x+5.

$$x^{2}-16x+64=8x+20$$

Resteu 8x en tots dos costats.

$$x^{2}-16x+64-8x=20$$

Combineu -16x i -8x per obtenir -24x.

$$x^{2}-24x+64=20$$

Resteu 20 en tots dos costats.

$$x^{2}-24x+64-20=0$$

Resteu 64 de 20 per obtenir 44.

$$x^{2}-24x+44=0$$

Per resoldre l'equació, el factor x^{2}-24x+44 amb la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-24 ab=44$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 44 de producte.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

La solució és la parella que atorga -24 de suma.

$$a=-22 b=-2$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(x+a\right)\left(x+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(x-22\right)\left(x-2\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-22=0 i x-2=0.

$$x=22 x=2$$

Substituïu 22 per x a l'equació \sqrt{x+14}-\sqrt{2x+5}=1.

$$\sqrt{22+14}-\sqrt{2\times 22+5}=1$$

Simplifiqueu. El valor x=22 no satisfà l'equació perquè l'esquerra i el costat dret tenen signes oposats.

$$-1=1$$

Substituïu 2 per x a l'equació \sqrt{x+14}-\sqrt{2x+5}=1.

$$\sqrt{2+14}-\sqrt{2\times 2+5}=1$$

Simplifiqueu. El valor x=2 satisfà l'equació.

$$1=1$$

L'equació \sqrt{x+14}=\sqrt{2x+5}+1 té una única solució.

$$x=2$$