Resol sqrt{a+b}=sqrt{a}+sqrt{b}

$$\sqrt { a + b } = \sqrt { a } + \sqrt { b }$$

Resoleu a

$$\left\{\begin{matrix}a=0\text{, }&b\geq 0\\a\geq 0\text{, }&b=0\end{matrix}\right,$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{a+b}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{a+b} elevat a 2 per obtenir a+b.

$$a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}.

$$a+b=\left(\sqrt{a}\right)^{2}+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{a} elevat a 2 per obtenir a.

$$a+b=a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{b} elevat a 2 per obtenir b.

$$a+b=a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+b$$

Resteu a en tots dos costats.

$$a+b-a=2\sqrt{a}\sqrt{b}+b$$

Combineu a i -a per obtenir 0.

$$b=2\sqrt{a}\sqrt{b}+b$$

Intercanvieu els costats perquè tots els termes variables estiguin al costat esquerre.

$$2\sqrt{a}\sqrt{b}+b=b$$

Resteu b en tots dos costats.

$$2\sqrt{a}\sqrt{b}=b-b$$

Combineu b i -b per obtenir 0.

$$2\sqrt{a}\sqrt{b}=0$$

Dividiu els dos costats per 2\sqrt{b}.

$$\frac{2\sqrt{b}\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\frac{0}{2\sqrt{b}}$$

En dividir per 2\sqrt{b} es desfà la multiplicació per 2\sqrt{b}.

$$\sqrt{a}=\frac{0}{2\sqrt{b}}$$

Dividiu 0 per 2\sqrt{b}.

$$\sqrt{a}=0$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$a=0$$

Substituïu 0 per a a l'equació \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}.

$$\sqrt{0+b}=\sqrt{0}+\sqrt{b}$$

Simplifiqueu. El valor a=0 satisfà l'equació.

$$b^{\frac{1}{2}}=b^{\frac{1}{2}}$$

L'equació \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} té una única solució.

$$a=0$$

Resoleu b

$$\left\{\begin{matrix}b=0\text{, }&a\geq 0\\b\geq 0\text{, }&a=0\end{matrix}\right,$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{a+b}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{a+b} elevat a 2 per obtenir a+b.

$$a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2}.

$$a+b=\left(\sqrt{a}\right)^{2}+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{a} elevat a 2 per obtenir a.

$$a+b=a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{b} elevat a 2 per obtenir b.

$$a+b=a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+b$$

Resteu 2\sqrt{a}\sqrt{b} en tots dos costats.

$$a+b-2\sqrt{a}\sqrt{b}=a+b$$

Resteu b en tots dos costats.

$$a+b-2\sqrt{a}\sqrt{b}-b=a$$

Combineu b i -b per obtenir 0.

$$a-2\sqrt{a}\sqrt{b}=a$$

Resteu a en tots dos costats.

$$-2\sqrt{a}\sqrt{b}=a-a$$

Combineu a i -a per obtenir 0.

$$-2\sqrt{a}\sqrt{b}=0$$

Dividiu els dos costats per -2\sqrt{a}.

$$\frac{\left(-2\sqrt{a}\right)\sqrt{b}}{-2\sqrt{a}}=\frac{0}{-2\sqrt{a}}$$

En dividir per -2\sqrt{a} es desfà la multiplicació per -2\sqrt{a}.

$$\sqrt{b}=\frac{0}{-2\sqrt{a}}$$

Dividiu 0 per -2\sqrt{a}.

$$\sqrt{b}=0$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$b=0$$

Substituïu 0 per b a l'equació \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}.

$$\sqrt{a+0}=\sqrt{a}+\sqrt{0}$$

Simplifiqueu. El valor b=0 satisfà l'equació.

$$a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}$$

L'equació \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} té una única solució.

$$b=0$$