Resol sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Resoleu x

$$x=2$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{5x-1} elevat a 2 per obtenir 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{3x-2} elevat a 2 per obtenir 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combineu 5x i 3x per obtenir 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Resteu -1 de 2 per obtenir -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x-1} elevat a 2 per obtenir x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Resteu 8x-3 als dos costats de l'equació.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Per trobar l'oposat de 8x-3, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Combineu x i -8x per obtenir -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Sumeu -1 més 3 per obtenir 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Expandiu \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculeu -2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{5x-1} elevat a 2 per obtenir 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{3x-2} elevat a 2 per obtenir 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Per aplicar la propietat distributiva, cal multiplicar cada terme de l'operació 20x-4 per cada terme de l'operació 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Combineu -40x i -12x per obtenir -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Resteu 49x^{2} en tots dos costats.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Combineu 60x^{2} i -49x^{2} per obtenir 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Afegiu 28x als dos costats.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Combineu -52x i 28x per obtenir -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Resteu 4 en tots dos costats.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Resteu 8 de 4 per obtenir 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 11x^{2}+ax+bx+4. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 44 de producte.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

La solució és la parella que atorga -24 de suma.

$$a=-22 b=-2$$

Reescriviu 11x^{2}-24x+4 com a \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

11x al primer grup i -2 al segon grup.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-2 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-2=0 i 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Substituïu \frac{2}{11} per x a l'equació \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. L'expressió \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} no està definida perquè la radicand no pot ser negativa.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Substituïu 2 per x a l'equació \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Simplifiqueu. El valor x=2 satisfà l'equació.

$$1=1$$

L'equació \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} té una única solució.

$$x=2$$