Resol sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}=2

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } = 2$$

Resoleu x

$$x=5$$

$$x=1$$

Passos de solució

Resteu -\sqrt{x-1} als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x-1}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{3x+1} elevat a 2 per obtenir 3x+1.

$$3x+1=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x-1} elevat a 2 per obtenir x-1.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+x-1$$

Resteu 4 de 1 per obtenir 3.

$$3x+1=3+4\sqrt{x-1}+x$$

Resteu 3+x als dos costats de l'equació.

$$3x+1-\left(3+x\right)=4\sqrt{x-1}$$

Per trobar l'oposat de 3+x, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$3x+1-3-x=4\sqrt{x-1}$$

Resteu 1 de 3 per obtenir -2.

$$3x-2-x=4\sqrt{x-1}$$

Combineu 3x i -x per obtenir 2x.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Expandiu \left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculeu 4 elevat a 2 per obtenir 16.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x-1} elevat a 2 per obtenir x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 16 per x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Resteu 16x en tots dos costats.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

Combineu -8x i -16x per obtenir -24x.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

Afegiu 16 als dos costats.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

Sumeu 4 més 16 per obtenir 20.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a x^{2}+ax+bx+5. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. L'únic parell d'aquest tipus és la solució del sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Reescriviu x^{2}-6x+5 com a \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

x al primer grup i -1 al segon grup.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-5 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-5=0 i x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Substituïu 5 per x a l'equació \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}=2$$

Simplifiqueu. El valor x=5 satisfà l'equació.

$$2=2$$

Substituïu 1 per x a l'equació \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}=2$$

Simplifiqueu. El valor x=1 satisfà l'equació.

$$2=2$$

Llista de totes les solucions de \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2.

$$x=5 x=1$$