Resol sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Resoleu x

$$x=5$$

$$x=1$$

Passos de solució

Resteu -\sqrt{2x-1} als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{3x+1} elevat a 2 per obtenir 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x-1} elevat a 2 per obtenir 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Resteu 1 de 1 per obtenir 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Resteu 2x als dos costats de l'equació.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Combineu 3x i -2x per obtenir x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Expandiu \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculeu 2 elevat a 2 per obtenir 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{2x-1} elevat a 2 per obtenir 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Resteu 8x en tots dos costats.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Combineu 2x i -8x per obtenir -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Afegiu 4 als dos costats.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Sumeu 1 més 4 per obtenir 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Per resoldre l'equació, el factor x^{2}-6x+5 amb la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-6 ab=5$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. L'únic parell d'aquest tipus és la solució del sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(x+a\right)\left(x+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-5=0 i x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Substituïu 5 per x a l'equació \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Simplifiqueu. El valor x=5 satisfà l'equació.

$$1=1$$

Substituïu 1 per x a l'equació \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Simplifiqueu. El valor x=1 satisfà l'equació.

$$1=1$$

Llista de totes les solucions de \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$