Resol sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Resoleu x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sumeu 4 més 4 per obtenir 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} elevat a 2 per obtenir x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

El contrari de -2 és 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Sumeu 4 més 16 per obtenir 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} elevat a 2 per obtenir x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Combineu x^{2} i -x^{2} per obtenir 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Resteu 4x en tots dos costats.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Combineu -4x i -4x per obtenir -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Resteu 8 en tots dos costats.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Resteu 20 de 8 per obtenir 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Resteu y^{2} en tots dos costats.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Combineu y^{2} i -y^{2} per obtenir 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Afegiu 4y als dos costats.

$$-8x=12-8y+4y$$

Combineu -8y i 4y per obtenir -4y.

$$-8x=12-4y$$

Dividiu els dos costats per -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

En dividir per -8 es desfà la multiplicació per -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Dividiu 12-4y per -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Substituïu \frac{y-3}{2} per x a l'equació \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Simplifiqueu. El valor x=\frac{y-3}{2} satisfà l'equació.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

L'equació \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} té una única solució.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Resoleu y

$$y=2x+3$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sumeu 4 més 4 per obtenir 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} elevat a 2 per obtenir x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

El contrari de -2 és 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Sumeu 4 més 16 per obtenir 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} elevat a 2 per obtenir x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Resteu y^{2} en tots dos costats.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Combineu y^{2} i -y^{2} per obtenir 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Afegiu 8y als dos costats.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Combineu -4y i 8y per obtenir 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Combineu x^{2} i -x^{2} per obtenir 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Afegiu 4x als dos costats.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Combineu 4x i 4x per obtenir 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Resteu 8 en tots dos costats.

$$4y=8x+20-8$$

Resteu 20 de 8 per obtenir 12.

$$4y=8x+12$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

En dividir per 4 es desfà la multiplicació per 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Dividiu 8x+12 per 4.

$$y=2x+3$$

Substituïu 2x+3 per y a l'equació \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Simplifiqueu. El valor y=2x+3 satisfà l'equació.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

L'equació \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} té una única solució.

$$y=2x+3$$