Resol sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Resoleu x

$$x=y+2$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sumeu 49 més 1 per obtenir 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} elevat a 2 per obtenir 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Sumeu 9 més 25 per obtenir 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} elevat a 2 per obtenir 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Afegiu 6x als dos costats.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Combineu -14x i 6x per obtenir -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Combineu x^{2} i -x^{2} per obtenir 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Resteu 50 en tots dos costats.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Resteu 34 de 50 per obtenir -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Afegiu 2y als dos costats.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Combineu -10y i 2y per obtenir -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Resteu y^{2} en tots dos costats.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Combineu y^{2} i -y^{2} per obtenir 0.

$$-8x=-16-8y$$

L'equació té la forma estàndard.

$$-8x=-8y-16$$

Dividiu els dos costats per -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

En dividir per -8 es desfà la multiplicació per -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Dividiu -16-8y per -8.

$$x=y+2$$

Substituïu y+2 per x a l'equació \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Simplifiqueu. El valor x=y+2 satisfà l'equació.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

L'equació \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} té una única solució.

$$x=y+2$$

Resoleu y

$$y=x-2$$

Passos de solució

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Sumeu 49 més 1 per obtenir 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} elevat a 2 per obtenir 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Sumeu 9 més 25 per obtenir 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Calculeu \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} elevat a 2 per obtenir 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Afegiu 10y als dos costats.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Combineu -2y i 10y per obtenir 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Resteu y^{2} en tots dos costats.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Combineu y^{2} i -y^{2} per obtenir 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Resteu 50 en tots dos costats.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Resteu 34 de 50 per obtenir -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Afegiu 14x als dos costats.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Combineu -6x i 14x per obtenir 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Combineu x^{2} i -x^{2} per obtenir 0.

$$8y=-16+8x$$

L'equació té la forma estàndard.

$$8y=8x-16$$

Dividiu els dos costats per 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

En dividir per 8 es desfà la multiplicació per 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Dividiu -16+8x per 8.

$$y=x-2$$

Substituïu x-2 per y a l'equació \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Simplifiqueu. El valor y=x-2 satisfà l'equació.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

L'equació \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} té una única solució.

$$y=x-2$$