Resol {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Resoleu y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 3x en tots dos costats.

$$y-3x=0$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor y mitjançant l'aïllament del valor y al costat esquerre del signe igual.

$$y-3x=0$$

Sumeu 3x als dos costats de l'equació.

$$y=3x$$

Substituïu 3x per y a l'altra equació, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Sumeu 3x i x.

$$4x=16$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x=4$$

Substituïu 4 per x a y=3x. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y=3\times 4$$

Multipliqueu 3 per 4.

$$y=12$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=12,x=4$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 3x en tots dos costats.

$$y-3x=0$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu y i x.

$$y=12,x=4$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 3x en tots dos costats.

$$y-3x=0$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Resteu y+x=16 de y-3x=0 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$y-y-3x-x=-16$$

Sumeu y i -y. Els termes y i -y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-3x-x=-16$$

Sumeu -3x i -x.

$$-4x=-16$$

Dividiu els dos costats per -4.

$$x=4$$

Substituïu 4 per x a y+x=16. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y+4=16$$

Resteu 4 als dos costats de l'equació.

$$y=12$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=12,x=4$$