Resol {l}{x-y=12}{x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 12 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right\}$$

Resoleu x, y

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x-y=12,x+y=3$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x-y=12$$

Sumeu y als dos costats de l'equació.

$$x=y+12$$

Substituïu y+12 per x a l'altra equació, x+y=3.

$$y+12+y=3$$

Sumeu y i y.

$$2y+12=3$$

Resteu 12 als dos costats de l'equació.

$$2y=-9$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Substituïu -\frac{9}{2} per y a x=y+12. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\frac{9}{2}+12$$

Sumeu 12 i -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{15}{2}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x-y=12,x+y=3$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x-y=12,x+y=3$$

Resteu x+y=3 de x-y=12 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$x-x-y-y=12-3$$

Sumeu x i -x. Els termes x i -x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-y-y=12-3$$

Sumeu -y i -y.

$$-2y=12-3$$

Sumeu 12 i -3.

$$-2y=9$$

Dividiu els dos costats per -2.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Substituïu -\frac{9}{2} per y a x+y=3. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x-\frac{9}{2}=3$$

Sumeu \frac{9}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{15}{2}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$