Resol {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Resoleu x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Afegiu y als dos costats.

$$x+y=0$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x+y=0$$

Resteu y als dos costats de l'equació.

$$x=-y$$

Substituïu -y per x a l'altra equació, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Multipliqueu 2 per -y.

$$-2y+y=5$$

Sumeu -2y i y.

$$-y=5$$

Dividiu els dos costats per -1.

$$y=-5$$

Substituïu -5 per y a x=-y. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\left(-5\right)$$

Multipliqueu -1 per -5.

$$x=5$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=5,y=-5$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Afegiu y als dos costats.

$$x+y=0$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=5,y=-5$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Afegiu y als dos costats.

$$x+y=0$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Resteu 2x+y=5 de x+y=0 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$x-2x+y-y=-5$$

Sumeu y i -y. Els termes y i -y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$x-2x=-5$$

Sumeu x i -2x.

$$-x=-5$$

Dividiu els dos costats per -1.

$$x=5$$

Substituïu 5 per x a 2x+y=5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$2\times 5+y=5$$

Multipliqueu 2 per 5.

$$10+y=5$$

Resteu 10 als dos costats de l'equació.

$$y=-5$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=5,y=-5$$