Resol {l}{x+y=5}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right\}$$

Resoleu x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x+y=5,x-y=1$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x+y=5$$

Resteu y als dos costats de l'equació.

$$x=-y+5$$

Substituïu -y+5 per x a l'altra equació, x-y=1.

$$-y+5-y=1$$

Sumeu -y i -y.

$$-2y+5=1$$

Resteu 5 als dos costats de l'equació.

$$-2y=-4$$

Dividiu els dos costats per -2.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a x=-y+5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-2+5$$

Sumeu 5 i -2.

$$x=3$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=3,y=2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x+y=5,x-y=1$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=3,y=2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x+y=5,x-y=1$$

Resteu x-y=1 de x+y=5 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$x-x+y+y=5-1$$

Sumeu x i -x. Els termes x i -x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$y+y=5-1$$

Sumeu y i y.

$$2y=5-1$$

Sumeu 5 i -1.

$$2y=4$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a x-y=1. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x-2=1$$

Sumeu 2 als dos costats de l'equació.

$$x=3$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=3,y=2$$