Resol {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Resoleu x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x+2y=60$$

Resteu 2y als dos costats de l'equació.

$$x=-2y+60$$

Substituïu -2y+60 per x a l'altra equació, x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Sumeu -2y i -y.

$$-3y+60=30$$

Resteu 60 als dos costats de l'equació.

$$-3y=-30$$

Dividiu els dos costats per -3.

$$y=10$$

Substituïu 10 per y a x=-2y+60. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-2\times 10+60$$

Multipliqueu -2 per 10.

$$x=-20+60$$

Sumeu 60 i -20.

$$x=40$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=40,y=10$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=40,y=10$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Resteu x-y=30 de x+2y=60 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Sumeu x i -x. Els termes x i -x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$2y+y=60-30$$

Sumeu 2y i y.

$$3y=60-30$$

Sumeu 60 i -30.

$$3y=30$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$y=10$$

Substituïu 10 per y a x-y=30. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x-10=30$$

Sumeu 10 als dos costats de l'equació.

$$x=40$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=40,y=10$$