Resol {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Resoleu x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu y en tots dos costats.

$$x-y=-5$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x+2y=1$$

Resteu 2y als dos costats de l'equació.

$$x=-2y+1$$

Substituïu -2y+1 per x a l'altra equació, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Sumeu -2y i -y.

$$-3y+1=-5$$

Resteu 1 als dos costats de l'equació.

$$-3y=-6$$

Dividiu els dos costats per -3.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a x=-2y+1. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-2\times 2+1$$

Multipliqueu -2 per 2.

$$x=-4+1$$

Sumeu 1 i -4.

$$x=-3$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-3,y=2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu y en tots dos costats.

$$x-y=-5$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=-3,y=2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu y en tots dos costats.

$$x-y=-5$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Resteu x-y=-5 de x+2y=1 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Sumeu x i -x. Els termes x i -x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$2y+y=1+5$$

Sumeu 2y i y.

$$3y=1+5$$

Sumeu 1 i 5.

$$3y=6$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a x-y=-5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x-2=-5$$

Sumeu 2 als dos costats de l'equació.

$$x=-3$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-3,y=2$$