Resol {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Resoleu x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$2x+y=3$$

Resteu y als dos costats de l'equació.

$$2x=-y+3$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{2} per -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Substituïu \frac{-y+3}{2} per x a l'altra equació, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Sumeu -\frac{y}{2} i y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Resteu \frac{3}{2} als dos costats de l'equació.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Multipliqueu els dos costats per 2.

$$y=7$$

Substituïu 7 per y a x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Multipliqueu -\frac{1}{2} per 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Sumeu \frac{3}{2} i -\frac{7}{2} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=-2$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-2,y=7$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=-2,y=7$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Resteu x+y=5 de 2x+y=3 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Sumeu y i -y. Els termes y i -y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$2x-x=3-5$$

Sumeu 2x i -x.

$$x=3-5$$

Sumeu 3 i -5.

$$x=-2$$

Substituïu -2 per x a x+y=5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$-2+y=5$$

Sumeu 2 als dos costats de l'equació.

$$y=7$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-2,y=7$$