Resol ∫ (from 0 to 1) of 3x^2+3x+sin(x) wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 1 } 3 { x }^{ 2 } +3x+ \sin ( x ) d x$$

Calcula

$$\frac{7-2\cos(1)}{2}\approx 2,959697694$$

Passos de solució

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int 3x^{2}+3x+\sin(x)\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{2}\mathrm{d}x amb \frac{x^{3}}{3}. Multipliqueu 3 per \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{3}+3\int x\mathrm{d}x+\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu 3 per \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Utilitzeu \int \sin(x)\mathrm{d}x=-\cos(x) de l'índex d'integrals comunes per obtenir el resultat.

$$x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}-\cos(x)$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$1^{3}+\frac{3}{2}\times 1^{2}-\cos(1)-\left(0^{3}+\frac{3}{2}\times 0^{2}-\cos(0)\right)$$

Simplifiqueu.

$$\frac{1}{2}\left(7-2\cos(1)\right)$$