Resol ∫ (from -1 to 3) of x(x-1)(x+2) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 3 } x(x-1)(x+2) d x$$

Calcula

$$\frac{64}{3}\approx 21,333333333$$

Passos de solució

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x per x-1.

$$\int _{-1}^{3}\left(x^{2}-x\right)\left(x+2\right)\mathrm{d}x$$

Per aplicar la propietat distributiva, cal multiplicar cada terme de l'operació x^{2}-x per cada terme de l'operació x+2.

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Combineu 2x^{2} i -x^{2} per obtenir x^{2}.

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{3}\mathrm{d}x amb \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{2}\mathrm{d}x amb \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu -2 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-x^{2}$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$\frac{3^{4}}{4}+\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\left(-1\right)^{2}\right)$$

Simplifiqueu.

$$\frac{64}{3}$$