Resol ∫ left(1+xright)^2 wrt x

$$\int{ { \left(1+x \right) }^{ 2 } }d x$$

Calcula

$$\frac{\left(x+1\right)^{3}}{3}+С$$

Passos de solució

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(1+x\right)^{2}.

$$\int 1+2x+x^{2}\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$\int 1\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Cerqueu la integral de 1 amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x+2\int x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu 2 per \frac{x^{2}}{2}.

$$x+x^{2}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{2}\mathrm{d}x amb \frac{x^{3}}{3}.

$$x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Si F\left(x\right) és un antiderivat de l' f\left(x\right), el F\left(x\right)+C s'atorga el conjunt de tots els antiderivats de l' f\left(x\right). Per tant, afegiu la constant d'integració C\in \mathrm{R} al resultat.

$$x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Diferencieu x

$$\left(x+1\right)^{2}$$