Resol ∫ x(2+x)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ) ^ { 2 } d x$$

Calcula

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+С$$

Passos de solució

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+x\right)^{2}.

$$\int x\left(4+4x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x per 4+4x+x^{2}.

$$\int 4x+4x^{2}+x^{3}\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu 4 per \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{2}\mathrm{d}x amb \frac{x^{3}}{3}. Multipliqueu 4 per \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{2}+\frac{4x^{3}}{3}+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{3}\mathrm{d}x amb \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{2}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

Simplifiqueu.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}$$

Si F\left(x\right) és un antiderivat de l' f\left(x\right), el F\left(x\right)+C s'atorga el conjunt de tots els antiderivats de l' f\left(x\right). Per tant, afegiu la constant d'integració C\in \mathrm{R} al resultat.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+С$$

Diferencieu x

$$x\left(x+2\right)^{2}$$