Resol ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Calcula

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Passos de solució

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Reescriviu \frac{1}{\sqrt{x}} com a x^{-\frac{1}{2}}. Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x amb \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Simplifiqueu i convertiu de forma exponencial a radical.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu -1 per \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Simplifiqueu.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$