Resol ∫ (from 0 to 4) of sqrt{x}-x-2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } \sqrt { x } - x - 2 d x$$

Calcula

$$-\frac{32}{3}\approx -10,666666667$$

Passos de solució

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int \sqrt{x}-x-2\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int -2\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int -2\mathrm{d}x$$

Reescriviu \sqrt{x} com a x^{\frac{1}{2}}. Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x amb \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Simplifiqueu.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int -2\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu -1 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int -2\mathrm{d}x$$

Cerqueu la integral de -2 amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\frac{4^{2}}{2}-2\times 4-\left(\frac{2}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}-\frac{0^{2}}{2}-2\times 0\right)$$

Simplifiqueu.

$$-\frac{32}{3}$$