Resol ∫ (from 0 to 2) of (4-2x)(4-x^2)

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 - 2 x ) ( 4 - x ^ { 2 } )$$

Calcula

$$\frac{40}{3}\approx 13,333333333$$

Passos de solució

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4-2x per 4-x^{2}.

$$\int _{0}^{2}16-4x^{2}-8x+2x^{3}\mathrm{d}x$$

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int 16-4x^{2}-8x+2x^{3}\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int 16\mathrm{d}x+\int -4x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x+\int 2x^{3}\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$\int 16\mathrm{d}x-4\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x+2\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Cerqueu la integral de 16 amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}x=ax.

$$16x-4\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x+2\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{2}\mathrm{d}x amb \frac{x^{3}}{3}. Multipliqueu -4 per \frac{x^{3}}{3}.

$$16x-\frac{4x^{3}}{3}-8\int x\mathrm{d}x+2\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu -8 per \frac{x^{2}}{2}.

$$16x-\frac{4x^{3}}{3}-4x^{2}+2\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{3}\mathrm{d}x amb \frac{x^{4}}{4}. Multipliqueu 2 per \frac{x^{4}}{4}.

$$16x-\frac{4x^{3}}{3}-4x^{2}+\frac{x^{4}}{2}$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$16\times 2-\frac{4}{3}\times 2^{3}-4\times 2^{2}+\frac{2^{4}}{2}-\left(16\times 0-\frac{4}{3}\times 0^{3}-4\times 0^{2}+\frac{0^{4}}{2}\right)$$

Simplifiqueu.

$$\frac{40}{3}$$