Resol ∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 4 r ^ { 2 } + 1 } d r d \theta$$

Calcula

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5,3304135$$

Passos de solució

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

Cerqueu la integral de \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}\theta =a\theta .

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

Simplifiqueu.

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

Simplifiqueu.

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$