Resol ∫ (from 0 to 1) of (2x-1)^2 wrt x=

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } d x =$$

Calcula

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos de solució

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2x-1\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int 4x^{2}-4x+1\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{2}\mathrm{d}x amb \frac{x^{3}}{3}. Multipliqueu 4 per \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu -4 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Cerqueu la integral de 1 amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}-2x^{2}+x$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$\frac{4}{3}\times 1^{3}-2\times 1^{2}+1-\left(\frac{4}{3}\times 0^{3}-2\times 0^{2}+0\right)$$

Simplifiqueu.

$$\frac{1}{3}$$