Resol ∫ (from 0 to pi / 3) of (1-cosθ)^2

$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 }$$

Calcula

$$\frac{\pi \left(\cos(\theta )-1\right)^{2}}{3}$$

Passos de solució

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int \left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Cerqueu la integral de \left(1-\cos(\theta )\right)^{2} amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}x$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$\frac{1}{3}\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\pi +0\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}$$

Simplifiqueu.

$$\frac{\left(\cos(\theta )-1\right)^{2}\pi }{3}$$

Diferencieu θ

$$-\frac{2\pi \sin(\theta )\left(\cos(\theta )-1\right)}{3}$$