Resol ∫ (2x+7)^3 wrt x

$$\int ( 2 x + 7 ) ^ { 3 } d x$$

Calcula

$$\frac{\left(2x+7\right)^{4}}{8}+С$$

Passos de solució

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} per desenvolupar \left(2x+7\right)^{3}.

$$\int 8x^{3}+84x^{2}+294x+343\mathrm{d}x$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int 8x^{3}\mathrm{d}x+\int 84x^{2}\mathrm{d}x+\int 294x\mathrm{d}x+\int 343\mathrm{d}x$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$8\int x^{3}\mathrm{d}x+84\int x^{2}\mathrm{d}x+294\int x\mathrm{d}x+\int 343\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{3}\mathrm{d}x amb \frac{x^{4}}{4}. Multipliqueu 8 per \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{4}+84\int x^{2}\mathrm{d}x+294\int x\mathrm{d}x+\int 343\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x^{2}\mathrm{d}x amb \frac{x^{3}}{3}. Multipliqueu 84 per \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{4}+28x^{3}+294\int x\mathrm{d}x+\int 343\mathrm{d}x$$

Des de \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int x\mathrm{d}x amb \frac{x^{2}}{2}. Multipliqueu 294 per \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{4}+28x^{3}+147x^{2}+\int 343\mathrm{d}x$$

Cerqueu la integral de 343 amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{4}+28x^{3}+147x^{2}+343x$$

Si F\left(x\right) és un antiderivat de l' f\left(x\right), el F\left(x\right)+C s'atorga el conjunt de tots els antiderivats de l' f\left(x\right). Per tant, afegiu la constant d'integració C\in \mathrm{R} al resultat.

$$2x^{4}+28x^{3}+147x^{2}+343x+С$$

Diferencieu x

$$\left(2x+7\right)^{3}$$