Resol d/dθleft(cos(θ)right)

$$\frac{d}{d \theta } \left( \cos ( \theta ) \right)$$

Calcula

$$-\sin(\theta )$$

Passos per utilitzar la definició d'una derivada

La derivada d'una funció f\left(x\right) és el límit de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} quan h passa a 0, si aquest límit existeix.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\cos(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta +h)-\cos(\theta )}{h}\right)$$

Utilitzeu la fórmula de suma per al cosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\theta )-\cos(\theta )}{h}$$

Simplifiqueu \cos(\theta ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\theta )\sin(h)}{h}$$

Reescriviu el límit.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Utilitzeu el fet que \theta és una constant en calcular els límits quan h passa a 0.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

El límit de \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } és 1.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )$$

Per calcular el límit \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, primer multipliqueu el numerador i el denominador per \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multipliqueu \cos(h)+1 per \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Utilitzeu la identitat de Pitàgores.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Reescriviu el límit.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

El límit de \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } és 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Utilitzeu el fet que \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} és continu en 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Substituir el valor 0 a l'expressió \cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta ).

$$-\sin(\theta )$$

Diferencieu θ

$$-\cos(\theta )$$