Resol frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Resoleu b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Passos per resoldre equacions radicals

Racionalitzeu el denominador de \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} multiplicant el numerador i el denominador per 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Considereu \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Eleveu 2 al quadrat. Eleveu \sqrt{5} al quadrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Resteu 4 de 5 per obtenir -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Multipliqueu 2+\sqrt{5} per 2+\sqrt{5} per obtenir \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{5} és 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Sumeu 4 més 5 per obtenir 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Qualsevol nombre dividit per -1 dona el seu contrari. Per trobar l'oposat de 9+4\sqrt{5}, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Racionalitzeu el denominador de \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} multiplicant el numerador i el denominador per 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Considereu \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Eleveu 2 al quadrat. Eleveu \sqrt{5} al quadrat.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Resteu 4 de 5 per obtenir -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Multipliqueu 2-\sqrt{5} per 2-\sqrt{5} per obtenir \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{5} és 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Sumeu 4 més 5 per obtenir 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Qualsevol nombre dividit per -1 dona el seu contrari. Per trobar l'oposat de 9-4\sqrt{5}, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Resteu -9 de 9 per obtenir -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Combineu -4\sqrt{5} i 4\sqrt{5} per obtenir 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Intercanvieu els costats perquè tots els termes variables estiguin al costat esquerre.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Resteu a en tots dos costats.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Eleveu els dos costats de l'equació al quadrat.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

En dividir per 5 es desfà la multiplicació per 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Resoleu a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$