Resol frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Calcula

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Passos de solució

Racionalitzeu el denominador de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Considereu \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Eleveu 2 al quadrat. Eleveu \sqrt{3} al quadrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Resteu 4 de 3 per obtenir 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Qualsevol quantitat dividida entre u és igual a si mateixa.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Multipliqueu 2+\sqrt{3} per 2+\sqrt{3} per obtenir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Racionalitzeu el denominador de \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Considereu \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Eleveu 2 al quadrat. Eleveu \sqrt{3} al quadrat.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Resteu 4 de 3 per obtenir 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Qualsevol quantitat dividida entre u és igual a si mateixa.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Multipliqueu 2-\sqrt{3} per 2-\sqrt{3} per obtenir \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Sumeu 4 més 3 per obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Sumeu 4 més 3 per obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Per trobar l'oposat de 7-4\sqrt{3}, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

El contrari de -4\sqrt{3} és 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Resteu 7 de 7 per obtenir 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Combineu 4\sqrt{3} i 4\sqrt{3} per obtenir 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$