Resol frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}-frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}=2sqrt{15}

$$\frac{ \sqrt{ 5 } + \sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 5 } - \sqrt{ 3 } } - \frac{ \sqrt{ 5 } - \sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 5 } + \sqrt{ 3 } } = 2 \sqrt{ 15 }$$

Verifiqueu

Passos de solució

Racionalitzeu el denominador de \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per \sqrt{5}+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Considereu \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Eleveu \sqrt{5} al quadrat. Eleveu \sqrt{3} al quadrat.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Resteu 5 de 3 per obtenir 2.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Multipliqueu \sqrt{5}+\sqrt{3} per \sqrt{5}+\sqrt{3} per obtenir \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{5} és 5.

$$\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Per multiplicar \sqrt{5} i \sqrt{3}, Multipliqueu els números sota l'arrel quadrada.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Sumeu 5 més 3 per obtenir 8.

$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Dividiu cada terme de 8+2\sqrt{15} entre 2 per obtenir 4+\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Racionalitzeu el denominador de \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=2\sqrt{15}$$

Considereu \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=2\sqrt{15}$$

Eleveu \sqrt{5} al quadrat. Eleveu \sqrt{3} al quadrat.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}=2\sqrt{15}$$

Resteu 5 de 3 per obtenir 2.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}=2\sqrt{15}$$

Multipliqueu \sqrt{5}-\sqrt{3} per \sqrt{5}-\sqrt{3} per obtenir \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{5} és 5.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Per multiplicar \sqrt{5} i \sqrt{3}, Multipliqueu els números sota l'arrel quadrada.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}=2\sqrt{15}$$

Sumeu 5 més 3 per obtenir 8.

$$4+\sqrt{15}-\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=2\sqrt{15}$$

Dividiu cada terme de 8-2\sqrt{15} entre 2 per obtenir 4-\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-\left(4-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

Per trobar l'oposat de 4-\sqrt{15}, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$4+\sqrt{15}-4-\left(-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

El contrari de -\sqrt{15} és \sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-4+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Resteu 4 de 4 per obtenir 0.

$$\sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Combineu \sqrt{15} i \sqrt{15} per obtenir 2\sqrt{15}.

$$2\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Resteu 2\sqrt{15} en tots dos costats.

$$2\sqrt{15}-2\sqrt{15}=0$$

Combineu 2\sqrt{15} i -2\sqrt{15} per obtenir 0.

$$0=0$$

Compareu 0 amb 0.

$$\text{true}$$