Resol x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Resoleu x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 21, el mínim comú múltiple de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 14.

$$-x+42y=364$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$3x+7y=105$$

Resteu 7y als dos costats de l'equació.

$$3x=-7y+105$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{3} per -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Substituïu -\frac{7y}{3}+35 per x a l'altra equació, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Multipliqueu -1 per -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Sumeu \frac{7y}{3} i 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Sumeu 35 als dos costats de l'equació.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{133}{3}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=9$$

Substituïu 9 per y a x=-\frac{7}{3}y+35. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Multipliqueu -\frac{7}{3} per 9.

$$x=-21+35$$

Sumeu 35 i -21.

$$x=14$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=14,y=9$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 21, el mínim comú múltiple de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 14.

$$-x+42y=364$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=14,y=9$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 21, el mínim comú múltiple de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 14.

$$-x+42y=364$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Per igualar 3x i -x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per -1 i tots els termes de cada costat de la segona per 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Simplifiqueu.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Resteu -3x+126y=1092 de -3x-7y=-105 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Sumeu -3x i 3x. Els termes -3x i 3x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Sumeu -7y i -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Sumeu -105 i -1092.

$$-133y=-1197$$

Dividiu els dos costats per -133.

$$y=9$$

Substituïu 9 per y a -x+42y=364. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$-x+42\times 9=364$$

Multipliqueu 42 per 9.

$$-x+378=364$$

Resteu 378 als dos costats de l'equació.

$$-x=-14$$

Dividiu els dos costats per -1.

$$x=14$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=14,y=9$$